囚犯分绿豆问题解答


5个囚犯,分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆 规定每人至少抓一颗,而抓得最多和最少的人将被处死,而且,他们之间不能交流,但在抓的时候,可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活机率最大?

  1. 他们都是非常聪明的人
  2. 他们的原则是先求保命,再去多杀人;不能保命的话,也要多杀人。
  3. 100颗不必都分完
  4. 若有重复的情况,则也算最大或最小,一并处死 (中间数的重复不算)

有一种分析是这样的:

第一个和第二个的活命机会是均等的。他们的机会关键是看剩下的人如何拿。 因为后面的看不到前面人拿的颗数,只能看到剩下的颗数。。。所以第一个如果拿N个,第二个就会拿N+1个或N-1个,如果他不拿N+1或N-1。就会给第三个机会拿他俩中间的数,所以第二个只会拿N+1或N-1个。。。而第三个则会按照袋里剩下数得出前两人拿之和。他也会尽量与他俩拿的数字接近,但不同。当前两人的和为2N+1时第三人他可以拿N+2或N-1,当前两人之和为2N-1时他可以拿N-2或N+1。。。 而第四人也会按照前三人之和除以三以后选择拿的颗数,但此时的平均数未必会=N,他会选择新的平均数加减2颗来拿,但也必定与前三人拿之数相连。 而第五人其实是没有活命的机会的,他只是用来决定前四人中谁陪他死的。

这样就得出结论:从死亡概率的角度来算,第一个和第二个死亡的概率是这样变化的,每当抓取的人数多1个的时候他们的概率就是前一次死亡概率P*1/2,(这里稍微解释一下,比如A,B,C三个人,下面的排序是按照他们拿绿豆的个数排列的,在C没加入之前,A,B的排列只有两种AB,BA如果没任何人加入,他们俩都得死,幸运的是C现在要加入,所以必定是这样排列的CAB,ABC,CBA,BAC。从中可以看出A和B的存活概率都增加了1/2,当然C必定死,以此类推如果加入D,则C存活的概率就回是1/2)。所以第一个和第二个后面还有3个人,故死亡的概率就为1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8,同理第三个人死亡的概率就为1/2 * 1/2 = 1/4,那么第四个人的死亡概率就为1/2,第5个人别想了必定要死。

但是这样分析,你会发现100课绿豆这个限定条件就没有任何意义了?就是1k和1w个绿豆都一样,那聪明的囚犯会这样想么?同样100这个数字就给了第一个囚犯机会,让他有机会决定这个豆子如何分配。所以这个分析虽然没错,但是忽略了一个前提条件,那么完整的分析应该包含下面的内容。 所以这里根据100个绿豆5个人可以看出第一个人肯定会考虑这个数字100/5 = 20。同时考虑到5人选择的数字肯定连续。那么第一个人就回考虑以下3种情况:

  1. 第一人如果取1个绿豆,那第一个人智商基本为0,不符合题目要求。
  2. 考虑拿的绿豆个数1<N < 5时 那么第一个人如果取1<N<5那么后果是什么那?第二人肯定取N+1,而不会取N-1,因为第二个人清楚的知道不可能出现54321这种排列了,因为第一个人取得的绿豆没有超过5个,所以如果自己取N-1自然减少了自己生存的概率,这些问题1自然可以推论出2肯定取N+1,那么自然1的生存概率就减少了,1肯定不干。
  3. 考虑拿的绿豆个数18<N (这里为何是18哪?因为18,19,20,21,22的和正好是100) 那同样就不可能出现12345这种排列,所以也不可能。所以第一个人取得绿豆的合理范围是5<=N<=18.

综上所述第一个人最有权力决定整个事件的结果,而往往最后的人基本没有决定权。也符合现实中的很多决策逻辑!所以在处理实际问题的时候,我们尽量争取自己作为决策的第一人,因为这样才能使自己的利益最大化!

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图3

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